Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-04-19T23:46:57+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Для острых углов известно соотношение   sinα<α<tgα . α=1/(n+6) стремится к 0 при n->∞.

tg1/(n+6)>1/(n+6).

 Исходный ряд сравним с рядом ,общий член которого 1/(n+6).Этот ряд расходящийся, так как его можно сравнить с расходящимся обобщённо-гармоническим рядом  ∑1/n : lim (1/n)/(1/n+6)=1≠0 при n->∞  ⇒ оба ряда ∑1/n и ∑1/(n+6) расходятся.

 

Ряд ∑1/(n+6) является минорантным, а ряд ∑tg1/(n+6) мажорантным. Из расходимости минорантного ряда следует расходимость мажорантного.  ⇒∑tg1/(n+6) - расходящийся ряд.

 

 

 

 

  • Voxman
  • главный мозг
2013-04-19T23:49:30+04:00

\sum_{n=1}^{\infty}tg(\frac{1}{n+6})

 

1) Ряд знакоположительный.

 

2) Применим предельный признак сравнения:

 

Ряд  \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}) - расходится (обобщенный гармонический ряд  \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n^p}) расходится при p \leq 1)

 

tg(\frac{1}{n+6}) \sim \frac{1}{n+6}, \ if \ n \to +\infty\\\\ lim_{n \to +\infty} (\frac{tg(\frac{1}{n+6})}{\frac{1}{n}}) = lim_{n \to +\infty} (\frac{\frac{1}{n+6}}{\frac{1}{n}}) =\\\\ lim_{n \to +\infty} (\frac{n}{n+6}) = lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{6}{n+6})= 1

 

 

Ряд \sum_{n=1}^{\infty}tg(\frac{1}{n+6}) расходится согласно предельному признаку сравнения, так как ряд  \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}) расходится.