Найдите высоту цилиндра наибольшего объема,который можно вписать в шар радиуса 2 корень из 3 м

1

Ответы и объяснения

2013-04-19T21:57:53+04:00

Обозначим радиус шара R, радиус цилиндра r, высоту цилиндра h, объем цилиндра V.

R=2√3

радиус цилиндра является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - радиус шара, а второй катет половина высоты цилиндра, отсюда:

r²=R²-¼h²=12-¼h²

V=πr²h=πh(12-¼h²)=π(12h-¼h³)

Очевидно, что минимальный объем будет при h=0, а чтобы найти максимальный, возьмем производную от функции объема по h и приравняем нулю.

V'=π(12-¾h²)

π(12-¾h²)=0

12=¾h²

16=h²

h=4