В прямоугольном треугольнике АВС угол с=90 град., М-средина АС,N-серидина ВС, угол MNC=45 град. и МN=4корня из 2 см.Найти:

а) стороны треугольника авс и длину АN
б)площади треугольика СMN и четырех угольника МАВN

1

Ответы и объяснения

2013-04-16T10:32:15+04:00

MN- средняя линия в треугольнике АВС, параллельная АС, так как М - середина АС, N - середина ВС. По свойству средней линии AB=2MN=2*4\sqrt{2}=8\sqrt{2}

Углы MNC и CMN равны (180-(90+45)=45), углы MNC и АВС равны, как при параллельных прямых MN и АВ и секущей ВС. Углы АВС и САВ равны (180-(90+45)=45).

Если синусы и косинусы не проходили, то возьмем СВ=АВ=Х, тогда по теореме Пифагора:

AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}

(8\sqrt{2})^{2}=x^{2}+x^{2}

128=2x^{2}

x=\sqrt{128/2}

x=8

Тогда АС=ВС=8.

СN=1/2BC=8/2=4, так как N - середина BC, точно так же МС=4.

Из треугольника АСN, где С=90 градусов, CN=4, АС=8, по теореме Пифагора:

AN=\sqrt{CN^{2}+AC^{2}}

AN=\sqrt{4^{2}+8^{2}}

AN=\sqrt{80}

AN=4\sqrt{5}

Scmn=CN*MN/2=4*4/2=8

Sabc=AC*BC/2=8*8/2=32

Smabn=Sabc-Scmn=32-8=24.

Ответ: АВ=8\sqrt{2}, ВС=АС=8, AN=4\sqrt{5}, Scmn=8, Smabn=24. ;)