Прошу помогите решить пожалуйста. Задание есть во вложениях.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке:
f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x
x∈[0;3]

2

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2013-04-12T13:04:37+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Сначала найдем производную данной функции

f'_x(x)=3*\frac{x^2}{3}-\frac{3}{2}*2*x+2

f'_x(x)=x^2-3*x+2

 

Теперь узнаем, существуют ли точки экстремума у исходной функции f(x) на промежутке [0,\,3]. Для этого приравняем производную к нулю. Причем нас интересуют только нули, которые находятся внутри данного промежутка.

x^2-3*x+2=0

 

D=3^2-4*2

 

D=1

 

x_{1,2}=\frac{3\pm1}{2}

 

x_1=1,\quad x_2=2

 

Обе точки попадают в промежуток. Придется искать значения исходной функции f(x)  в этих двух точках, так как они экстремумы и на концах отрезка.

 

f(0)=\frac{0^3}{3}-\frac{3*0^2}{2}+2*0

 

f(0)=0

 

f(1)=\frac{1^3}{3}-\frac{3*1^2}{2}+2*1

 

f(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2

 

f(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}

 

f(1)=\frac{5}{6}

 

f(2)=\frac{2^3}{3}-\frac{3*2^2}{2}+2*2

 

f(2)=\frac{8}{3}-\frac{12}{2}+4

 

f(2)=\frac{8}{3}-2

 

f(2)=\frac{2}{3}

 

f(3)=\frac{3^3}{3}-\frac{3*3^2}{2}+2*3

 

f(3)=-\frac{3^3}{6}+2*3

 

f(3)=-\frac{3^2}{2}+6

 

f(3)=1,5

 

Ответ:

 

наибольшее значение функция принимает в точке f(3)=1,5

 

наименьшее значение функция принимает в точке f(0)=0

 

То есть на концах отрезка

 

  • Nik133
  • главный мозг
2013-04-12T13:28:11+00:00

y'=(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x)'=x^2-3x+2 \\ y'=0 \\ x^2-3x+2=0 \\ D=9-4*2=1=1^2 \\ x_1=\frac{3+1}{2}=2 \in [0;\ 3]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{1-3}{2}=-1 \\ \\ y(0)=0 \\ y(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3} \\ \\ y(3)=9-\frac{27}{2}+6=1,5

 

Наибольшее значение в точке (3; 1,5)

Наименьшее значение в точке (0; 0)