В прямоугольной трапеции один из углов равен 135 градусов, средняя иния равна 18 см, а основания относятся как 1:8. Вычислите : а) основания трапеции; б) площадь трапеции.

1

Ответы и объяснения

2013-03-29T12:46:51+04:00

1. Обозначим трапецию: ABCD - трапеция, АD и ВС - основания, при  чем ВС - меньшее основание, MN - средняя лини трапеции, MN = 18, угол BCD = 135°

2. Доп. построение: высота СН

а)

3. BC/AD = 1/8, примем за х меньшее основание ВС, тогда 

\frac{BC}{AD} = \frac{x}{8x}, откуда большее основание AD =

4. Средняя линия трапеции равна: 

 

MN = \frac{1}{2}(BC+AD)

 

Заменим теперь основания на "иксы", а среднюю линию числовым значением, тобеж

 

18= \frac{1}{2}(x+8x)

 

откуда: 36 = 9х, х = 4 (основание ВС) 

Теперь подставим ВС = 4 снова в формулу для средней линии и обозначим большее основание AD за у

 

18= \frac{1}{2}(4+y)

 

откуда: 36 = 4+х, откуда х = 32, большее основание AD = 32

б)

5. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, откуда острый угол CDA = 360° - (2*90 - 135) = 45°

6. Когды мы провели высоту СН, то мы отсекли прямоугольнк АВСН, у котрого АН = 4, тогда НD = 32-4 = 28cм

7. Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник СDH, у которого острый угол равен 45°. Найдем гипотенузу CD через тригонометрическую функцию - косинус 45°.

 

cos45 = \frac{\sqrt{2}}{2},

 

с другой же стороны:

 

cos45 = \frac{HD}{CD} 

 

Прировняв и получив пропорцию мы найдем легко гипотенузу CD: 

 

CD = \frac{2*28}{\sqrt{2}} = 28\sqrt{2}

 

8. Найдем катет СН через тригонометрическую функцию - синус 45°

 

sin45 = \frac{\sqrt{2}}{2} ; sin 45 = \frac{CH}{CD} ; CH = \frac{\sqrt{2}*28\sqrt{2}}{2} = 28

 

9. Sabcd = MN*CH = 18 * 28 = 504см²

Овтет: ВС = 4, AD = 32, Sabcd = 504cм²