В6. В ромб со стороной 25 вписана окружность. Найдите
радиус окружности, если диагонали ромба относятся как 3:4.

1

Ответы и объяснения

2013-03-27T11:08:46+00:00

Если диагонали относятся как 3:4, то так же соотносятся и их половины. Представим прямоугольный треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и одной стороной ромба. Искомый радиус будет высотой этого треугольника.

Прямоугольный треугольник, имеющий соотношение катетов 3:4, имеет их отношение с гипотенузой 3:4:5 (т.н. Пифагоров треугольник). Значит, если гипотенуза 25, то катеты - 20 и 15.

Падающая из прямого угла высота делит гипотенузу на две части, которые относятся друг к другу как прилежащие к ним катеты, т.е. их длины составят 4/7*25=100/7 и 3/7*25=75/7. 

Теперь рассмотрим треугольник, образованный высотой (назовём её R), меньшим катетом 15 и прилежащей к нему частью гипотенузы 75/7. По теореме Пифагора:

15^2 = R^2 + (75/7)^2

Выразим R^2, приведём к общему знаменателю:

R^2 = 225 - 5625/49=(11025-5625)/49=5400/49 

То есть R  будет равно корню из этого числа. Корень получается некрасивым, возможно, в расчётах ошибка, но в целом ход решения такой