задания из пробного гиа 2013 (везде требуется полное объяснение и решение) с1. сократите дробь: в числителе : х^3-2х^2-9х+18; в знаменателе: (х-2)(х+3) с2. расстояние между пунктами А и Б = 15 км. лодка вышла из пункта А в 8:00, отправилась в пункт Б, пробыла там 2 часа и вернулась в пункт А в 20:00. определите собственную скорость лодки в км\ч если скорость течения реки = 2 км\ч с3. известно что графики функций у=-х^2+p и у=-2х+6 имеют ровно одну общую точку. определите координаты этой точки. постройте графики заданных функций в одной системе координат. с4. в прямоугольном треугольнике абс известны катеты: ас=10, бс=24, найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. с5. дана равнобедренная трапеция абсд. точка м лежит на основании ад и равноудалена от концов другого основания. докажите, что м - середина основания ад с6. в равнобедренную трапецию абсд с большим основанием аб вписана окружность. из точки с проведена высота сн а из точки н перепендикуляр нф к стороне ад, угол снф = 82 градуса. найдите величину угла снд. п.с. если тут что то не получается скинуть (напр. рисунок или ещё что то) то могу дать ссыль на вк или другую соц сеть где зарегестрирована

1

Ответы и объяснения

2013-03-27T10:07:18+00:00

с1. 

\frac{x^3-2x^2-9x+18}{(x-2)(x+3)}=\frac{x^2(x-2)-9(x-2)}{(x-2)(x+3)}=\frac{(x^2-9)(x-2)}{(x-2)(x+3)}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)}=x-3 

 

с2.

т.к. лодка была в пути с 8-00 до 20-00, при этом останавливалась на 2 часа, то в движении она пребывала всего 12-2=10 часов.

Пусть скорость лодки х км/ч . Тогда скорость лодки по течению (х+2)км/ч, а против течения (х-2)км/ч. Тогда из А в Б она ехала 15:(x+2) часа, а из Б в А 15:(х-2) часа.

Получаем, что всего в движении лодка была: 

\frac{15}{x+2}+\frac{15}{x-2}=10 

Решаем:

\frac{15(x-2)+15(x+2)}{(x+2)(x-2)}=10 

\frac{30x}{x^2-4}=10 

 

30x=10x^2-40 

10x^2-30x-40=0 

x^2-3x-4=0 

D=b^2-4ac=9+16=25=5^2 

x_{1,2}=\frac{-b+-\sqrt{D}}{2a} 

x_1=4, x_2=-1 

второй  корень не подходит, т.к. скорость не может быть отриательной.

Ответ: скорость лодки 4км/ч.

 

 с3.

y=-x^2+p; y=-2x+6 

 

графиком первой функции будет парабола. Графиком второй функции будет прямая.

Т.к. в условии сказано, что у них только одна общая точка, то значит что прямая является касательной к параболе (т.к. если это не касательная, то она пересекет обе ветви параболы).

 Т.к. прямая является касательной к параболе, то должно выполнятся условие:

 

\left \{ {{(-x^2+p)'=-2} \atop {-x^2+p=-2x+6}} \right. 

решаем систему уравниений, из которой находим х (одна из координат точки касания) и р. 

 

\left \{ {{-2x=-2} \atop {x^2-2x+6-p=0}} \right. 

\left \{ {{x=1} \atop {x^2-2x+6-p=0}} \right. 

\left \{ {{x=1} \atop {1^2-2*1+6-p=0}} \right. 

\left \{ {{x=1} \atop {p=5}} \right. 

 

получаем уравнение параболы  y=-x^2+5 

подставляя значение x в любое из уравнений, находим у:

у=-2*1+6

у=4

 

Т.о. точка касания имеет координаты (1$4)

График во вложении 

 

с4.

 Дано: треуг ABC

            уголС=90град

            BC=24

            AC=10

Найти: R

Решение:

R=\frac{1}{2}*\sqrt{AC^2+BC^2} 

R=\frac{1}{2}\sqrt{10^2+24^2}=\frac{1}{2}\sqrt{100+576}=\frac{1}{2}*26=13 

Ответ:радиус описанной окружности - 13.

 

  с5.

Дано: ABCD - равнобокая трапеция (AB=CD)

           M - равноудалена от B и С 

Доказать: AM=MD

Док-во:

BM=CM - т.к. М  равноудалена от B и С. Отсюда получаем, что треуг MBC - равнобедренный, а значи угол МВС=уголМСВ

т.к. трапеция равноб., то уголВ=уголС

уголВ= уголМВС + угол МВА

уголС= уголМСВ + угол МCD= угол МВС + угол МCD 

Получаем, что   угол МCD = угол МВА.

Т.о. треугАВМ=треугMCD - по двум сторонам и углу между ними 

Отсюда следует, что   AM=MD

 рисунок во вложении