Интеграл dx/(5cos(x)+3) Помогите пожалуйста с решением. Во влажениях есть 3 решения в помощь. Но я в них не уверена. Ответ станный получается в двух из них. пример 1ого курса, 100% правильно написан.

2

Ответы и объяснения

2013-03-26T18:39:20+04:00

в 3 вложении решение правильное,

в 1 ошибка при приведении к общему знаменателю (вынесли 1/5 не правильно)

2 вроде тоже правильно,

если в 3 "-" внести под логарифм, то отвенты 2 и 3 совпадут

 

2013-03-26T18:58:59+04:00

я же уже решал вчера это...

http://znanija.com/task/1784197

Пояснение насчет подстановок:

t(x) = \tan \frac{x}{2}\\ t'(x) = dt/dx\\ dt = t'(x)dx = \frac{(\frac{x}{2})'}{\cos^2 \frac{x}{2}}dx = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos \frac{x}{2}}dx = \\ =\frac{dx}{2}(1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}) = \frac{dx}{2}(1 + \tan^2 \frac{x}{2})= \frac{dx}{2}(1+t^2)\\ dx = \frac{2dt}{1+t^2}

По формуле двойного угла:

\cos x = \frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}

 

Теперь загоняем все в интеграл

\int \frac{dx}{5\cos x+3}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{5\frac{1-t^2}{1+t^2}+3} = \int \frac{2dt}{5(1-t^2)+3(1+t^2)}=\\ =\int \frac{2dt}{8-2t^2} = \int \frac{dt}{4-t^2} = -\int \frac{dt}{t^2-2^2} =\\ =-\frac{1}{4}\ln\frac{|t-2|}{|t+2|} + C

Далее вместо t подставляем тангенс половинного угла (из подстановки) и получаем окончательный ответ.

 

PS Ответ какой-то не очень красивый... если в условии поменять 3 и 5 местами, то ответ будет намного красивее, т.к. вместо логарифма появится arctg, который очень кстати будет для подстановки ;)

 

Второй и третий варианты правильные... первый (как и вчера) с ошибкой ;)