Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов её боковой стороны на расстояния 15 и 20. Найдите стороны трапеции.

1

Ответы и объяснения

2013-03-18T17:59:46+04:00

трапеция АБСД, ВС и АД - основания АБ перпендикулярна ВС и АД 
точки касания окружности на АБ - К, на БС - Н, на СД-М и на ДА - Л 
центр окружности О. ОС = 15, ОД = 20 
угол С+уголД = 180 т.к. ВС и АД параллельны 
из Д две касательные АД и ДС значит ОД - биссектриса угла Д, аналогично ОС биссектриса угла С 
получаем что в треугольнике ОСД угол ОСД+угол ОДС = 90 следовательно угол СОД = 180-90=90 значит треугольник ОСД - прямоугольный. найдем по теореме Пифагора СД = корень(ОС*ОС+ОД*ОД) = 25 
треугольник СМО и СОД подобны (по равенству двух углов угол ОСМ - общий, угол СОД = 90 угол ОМС = 90 (угол между радиусом и касательной)) ОМ/ОС = ОД/СД отсюда ОМ = ОД*ОС/СД = 15*20/25 = 12 это наш радиус 
АБ = 2r, БН=БК =r (как две касательные из одной точки) также НС=МС, МД=ЛД, АЛ=АК = r 
найдем половину периметра = (4r+2*СД)/2 = 2r+СД = 24+25 = 49 
радиус вписанной окружности по формуле равен r=s/p где S -площадь многоугольника p- полупериметр отсюда S=p*r = 49*12 = 588