три числа сумма которых 26, образуют геометрическую прогрессию. Если к первому числу прибавит 1, а ко второму 6, а к третьему 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
  • Voxman
  • главный мозг
2013-03-15T18:43:27+00:00

a1 + a2 + a3 = 26 (*)

 

a1*q = a2

 

a2*q = a3

 

q - знаменатель геометрической последовательности.

 

a1 + 1 + 2*d = a2 + 6 + d = a3 + 3

 

d - шаг арифметической прогрессии.

 

a1 + 1 + 2d = a1*q + 6 + d

 

a1*(1-q) -5 + d = 0

 

a2 + 6 + d = a3 + 3

 

a2 + 6 + d = a2*q + 3

 

a2*(1-q) +3 + d = 0

 

a1*(1-q) -5 + d - a2*(1-q) -3 - d = 0

 

(1-q)(a1 - a2) - 8 = 0

 

a2 = a1*q

 

(1-q)(a1 - a1*q) - 8 = 0

 

(1-q)*a1*(1-q) - 8 = 0

 

a1 = 8/(1-q)^2

 

Подставили в (*), выразив a2 и a3 через a1:  8 + 8*q + 8*q^2 = 26*(q-1)^2 | :2

 

4 + 4*q + 4*q^2 = 13*q^2-26*q+13

 

9*q^2 - 30*q + 9 = 0 | : 3

 

3*q^2 - 10*q + 3 = 0

 

D = 100 - 36 = 64

 

q1 = (10 - 8)/6 = 2/6 = 1/3 = 0.(3)

 

q2 = (10 + 8)/6 = 3

 

Если q = 3

 

a1 = 8/(1-q)^2 = 8/4 = 2

 

a2 = a1 * 3 = 6

 

a3 = a2 * 3 = 18

 

a1 + a2 + a3 = 26

 

Если q = 1/3

 

a1 = 8/(2/3)^2 = 8*9/4 = 18

 

a2 = a1 * 1/3 = 6

 

a3 = a2 * 1/3 = 2

 

Проверим второе требование.

 

Если q = 3, то d = a2 + 6 - a1 - 1 = 12 - 3 =9

 

a1 + 1= 3

 

a2 + 6 = 12 = a1 + 1 + d

 

a3 + 3 =  21 = a2 + 6 + d

 

Если q = 1/3, то d = a2 + 6 - a1 - 1 = 12 - 19 = -7

 

a1 + 1= 19

 

a2 + 6 = 12 = a1 + 1+ d

 

a3 + 3 =  5 = a2 + 6 + d

 

Ответ :  a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18 или a1 = 18, a2 = 6, a3 = 2.