Ответы и объяснения

2013-03-14T13:51:23+04:00

1. Найти значение

13 - 12 sin^2 x,

если известно, что

cos^2 x = 0,11

 

Основное тригонометрическое тождество:

 

cos^2 x + sin^2 x = 1

 

Имеем:

 

-12 cos^2 x - 12 sin^2 x = -12

12 - 12 sin^2 x = 12 cos^2 x

13 - 12 sin^2 x = 1 + 12 cos^2 x

 

Вычисляем:

 

12 cos^2 x = 12 \cdot 0,11 = 1,32

1 + 12 cos^2 x = 1 + 1,32 = 2,32

13 - 12 sin^2 x = 2,32

 

2. Найти значение

\frac{\sqrt{17}}{cos \alpha},

если

ctg \alpha = -4

при

\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2};\:\frac{5\pi}{2}\right)

 

Раскрываем котангенс и заменяем синус на косинус по основному тригонометрическому тождеству:

 

ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{cos \alpha}{\pm \sqrt {1 - cos^2 \alpha}}

 

Получаем:

 

\frac{cos \alpha}{\pm \sqrt {1 - cos^2 \alpha}} = -4 \; \Rightarrow \; cos \alpha = \pm 4 \sqrt {1 - cos^2 \alpha}

 

Возводим левую и правую части в квадрат:

 

cos^2 \alpha = 16 (1 - cos^2 \alpha) \; \Rightarrow \; 17 cos^2 \alpha = 16

 

Извлекая корень, находим косинус с точностью до знака:

 

cos^2 \alpha = \frac{16}{17} \; \Rightarrow \; cos \alpha = \pm \frac{4}{\sqrt{17}}

 

Следовательно,

 

\frac{\sqrt{17}}{cos \alpha} = \pm \frac{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}}{4} = \pm \frac{17}{4} = \pm 4,25

 

Теперь определим знак выражения. Если косинус отрицателен в заданном диапазоне, то знак будет "минус", иначе "плюс".

 

\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2};\:\frac{5\pi}{2}\right)

 

На данном интервале косинус положителен.

 

Ответ: 4,25.