Прошу помощи..пожалуйста

основанием пирамиды служит ромб с углом 30гр и стороной 2 корень из 3. боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60гр. наидите объем пирамиды.

1

Ответы и объяснения

2013-03-09T13:01:07+00:00

Итак, нам нужно найти объем пирамиды.
V=1/3*S*h, где
S - площадь основания пирамиды (в нашем случае это плщадь ромба)

h - высота.

 

Для начала было бы неплохо найти площадь ромба.
S=1/2*d1*d2 , где d1 и d2 - диагонали ромба.

 

Первый шаг - проводим диагонали внутри основания (ромба).
Диагонали в ромбе пересекаются под углом 90 град и делят друг друга пополам. Это очень полезные свойства ромба, которые облегачают нам задачу. Т.к. после проведения диагонали у нас получается внутри основания 4 прямоугольных треугольника со сторонами равными d1/2 ; d2/2 и 2корень из 3.
d1 и d2 - это диагонали ромба.

Нам так же известно, что диагонали ромба делят углы пополам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами  d1/2 ; d2/2 и 2корень из 3, в которых d1/2 d2/2 - это катеты, а 2 корень из 3 - гипотенуза. Ну. и угол 30/2=15 (т.к. диагонали разделили его пополам).

Теперь у нас есть  прямоугольный треугольник, в котором в числовом виде известны угол 15 градусов и гипотенуза 2 корня из 3, этого вполне достаточно, чтобы найти половинки диагоналей (которые являются катетами этого треугольника).

Считаем синус и косинус угла в 15 градусов, чтобы найти половинки диагоналей
Т.е.
син15 = d2/2 / 2 корня из 3 = (d2/2) /  3,46
 0,26=(d2/2) /  3,46

d2/2=0.89

d2=1,78

 

через косинус считаем вторую сторону
cos 15 = (d1/2) /  3,46

d1/2 = 0.96*3.46=3.3

d1=6,6

Теперь находим площадь основания, ромба
 S=1/2*d1*d2=2,9 см^2

Теперь, для нахождения объема пирамиды нам не хватает значения высоты.

В выделенном нами прямоугольном треугольнике проводим высоту от центра пересечения диагоналей к стороне ромба.
Т.е. мы разделили треугольник на еще один, это нам нужно для того, чтобы впоследствии выразить высоту пирамиды через косинус 60 градусов (наклона грани пирамиды к основанию).

находим высоту треугольника (не пирамиды).
эта маленькая высота равняется 
h(треуг)=син15 * d1/2=0.85

Осталось найти высоту пирамиды.
У нас есть угол наклона грани пирамиды к основанию, есть перпендикуляр из центра пересечения диагоналей к стороне - это наша маленькая высота треугольника. А линия, которая идет от точки пересечения перпендикуляра со стороной ромба к вершине пирамиды наклонена под углом 60 град. Другими словами, это опять прямоугольный треугольник, где один катет равен 0,85, а другой равен нашей исходной h.

Как мы можем использовать в прямоугольном треугольнике занния о катетах и углах? - правильно, через формулу тангенса (или котангенса).
Выберем тангенс.
tg 60 = h / h (треуг)
h = h (треуг) * tg 60 = 0.85 * 1.73=1,47

Все данные есть, подставляем их в первую формулу
V=1/3*2,9*1,47=1,42 см^3

итого, для решения задачи мы использовали:
Знание о свойствах диагоналей ромба.
Свойства прямоугольного треугольника.
Формулы синуса, косинуса, тангенса.

В общем, задачу решать легче, если будешь рисовать эту пирамиду и ориентироваться на рисунок, поверь, писать словами, то что легче показать наглядно, не оч. легко.
Удачи.