№1 Пользуясь определением, найдите производную функции 1/(корень из x) в точке x0=4.

№2 Пусть y=(2x-1)^8/(x+1)^5. Решите неравенство: a) y(штрих)>0 b) y(штрих)>=0 c) y(штрих)<0 d) y(штрих)<=0

Или что сможите решите пожалуйста

1

Ответы и объяснения

  • Katyuha85
  • почетный грамотей
2013-03-05T15:05:08+04:00

1). y=1/√x

 

y ' (x) = (1/√x) ' = (x^(-1/2)) ' = -1/2*x^(-1/2 - 1) = -1/2*x^(-3/2)

x=4

y ' (4) =  -1/2*4^(-3/2) = -1/2 * (1/4)^(3/2)= -1/2 * √(1/4)³ = -1/2 * √(1/64)= -1/2 * 1/8 = - 1/16

 

2). y = (2x-1)^8/(x+1)^5

 

y ' = ((2x-1)^8/(x+1)^5) ' = (8*(2x-1)^7 * 2 * (x+1)^5 - 5(x+1)^4*(2x-1)^8) / (x+1)^10 = (16*(2x-1)^7 * (x+1)^5 - 5(x+1)^4*(2x-1)^8) / (x+1)^10 = ((2x-1)^7 * (x+1)^4 * (16*(x+1) - 5*(2x-1)) / (x+1)^10 = ((2x-1)^7 * (16*(x+1) - 5*(2x-1)) / (x+1)^6 = ((2x-1)^7 * (16x+16 - 10x+5)) / (x+1)^6 =  ((2x-1)^7 * (6x+21)) / (x+1)^6

 

y ' >0

((2x-1)^7 * (6x+21)) / (x+1)^6>0

ОДЗ: х+1 не равен 0, следовательно х не равен -1.

(2х-1)^7=0,   2х-1=0,   2х=1, х=1/2

6х+21=0,   6х=-21,   х=-3,5

Отмечаем эти 2 точки на числовой прямой и решением неравенства будет те интервалы, где множители числителя имеют одинаковый знак (либо два плюса, либо 2 минуса).

это будут2 интервала такие: (-∞; -3,5) и (0,5; +∞).

Это решение удовлетворяет ОДЗ, а, значит, будет решением всего неравенства:

получаем ответ: (-∞; -3,5) и (0,5; +∞)

 

б). у ' ≥0: решение будет (-∞; -3,5] и [0,5; +∞)

в). у ' <0: решение будет (-3,5; -1) и (-1; 0,5)

г). у ' ≤0: решение будет [-3,5; -1) и (-1; 0,5]