найдите наименьшее значение выражения (2х+y+3)^2+(3x-2y+8)^2 и значения х и у, при которых оно достигается

1

Ответы и объяснения

  • Fedor
  • главный мозг
2011-03-26T15:42:40+03:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

f(x,y)=(2х+y+3)^2+(3x-2y+8)^2

Найдем частные производные

df/dx=2(2x+y+3)*2+2(3x-2y+8)*3=8x+4y+12+18x-12y+48=26x-8y+60

df/dy=2(2x+y+3)*1+2(3x-2y+8)*(-2)=4x+2y+6-12x+8y-32=-8x+10y-26

И приравняем их к нулю

26x-8y+60=0

-8x+10y-26=0

 

Первое уравнение умножим на 10, а второе на 8

260x-80y+600=0

-64x+80x-208=0

Сложим оба уравнения

196x+392=0

x=2

Определим y

26x-8y+60=0 =>26*2-8y+60=0 =>8y=8 =>y=1

 

Точка М(x; y)=M(2; 1) - Стационарная

Найдем вторые производные

A=d^2xdx^2=26

B=d^2x/dxdy=-8

C=d^2y/dy^2=10

Дискриминант = AC-B^2=260-64=196>0

То есть Дискриминант >0 и А>0, значит точка М(2;1)- точка минимума

В этой точке функция f(x;y) принимает значение

f(x,y)=(2х+y+3)^2+(3x-2y+8)^2=(2*2+1+3)^2+(3*2-2*1+8)^2=8^2+(12)^2=64+144=208