Пропустил тему "Решение неравенств с помощью систем", теперь не знаю, как решить эти неравенства. Помогите, пожалуйста.

1. \sqrt{2x+3}<x

2. \sqrt{3x-2}>2x-1

3. \sqrt[4]{x^{2}-3}<\sqrt[4]{x+3}

1

Ответы и объяснения

2013-03-01T00:34:37+04:00

1)

Возводим в квадрат обе части неравенства:

(\sqrt{2x+3})^2<x^2

Теперь составляем систему. Первое неравенство  в системе, это результат возведения в квдарат обеих частей. Второе неравенство в системе, это условие на значение подкоренного выражения, оно должно быть больше или равно нулю:

\left \{ {{2x+3<x^2} \atop {2x+3>=0}} \right

Теперь его решаем:

\left\{ {{-x^2+2x+3<0} \atop {x>=-1.5}} \right.

В первом неравенстве находим корни неравенства:

D=4-4(-1) \cdot 3 = 16

\sqrt D = 4

x_{1} = \frac{2+4}{2} = 3

x_{1} = \frac{2-4}{2} = -1

Первое неравенство истинно на промежутках: (-\infty;-1)(3;+\infty).

А с учетом второго неравенства первый промежуток уменьшается до [-1.5;-1),

итого ответ:  [-1.5;-1) U (3;+\infty)

 

2)

\left \{ {{3x-2>4x^2-4x+1} \atop {3x-2>=0}} \right.

 

\left \{ {{-4x^2+7x-3>0} \atop {x>=\frac{2}{3}}} \right.

 

D=49-4 \cdot (-4) \cdot (-3)=49-48=1

 

\sqrt D = 1

 

x_1 = \frac{-7+1}{-8} = \frac{3}{4}

 

x_2 = \frac{-7-1}{-8} = 1

 

Первое неравенство истинно на промежутке (\frac{3}{4}; 1), а с учетом условия второго неравенства промежуток у нас не мняется, т.к  x = \frac{2}{3} не входит в данный промежуток.

 

3)

\begin{cases} x^2-3=0\\x+3>=0 \end{cases}

 

\begin{cases} x^2-x-6<0\\x>= \sqrt3\\x>=-3 \end{cases}

 

D = 1 - 4 \cdot (-6) = 1+24 = 25

\sqrt D = 5

x_1 = \frac{1+5}{2} = 3

x_2 = \frac{1-5}{2} = -2

Первое неравенство истинно на промежутке (-2;3), а с учетом второго и тетьего неравенств промежуток уменьшается до: [\sqrt3; 3)