Известно, что mx³+nx²+px+q( m,n,p,q - целые числа), при любом x делится на 5. Докажите, что m,n,p,q, делятся на 5

1

Ответы и объяснения

2013-02-17T16:10:20+04:00

Обозначим P(x)=mx^3+nx^2+px+q. При x=0, \ P(0)=q  ⇒ q:5

знак " : " нацело делится.

При x = 1,  P(1) = m + n + p + q ⇒ (m + n + p + q ) : 5.

При x = -1, P(-1) = -m + n - p + q ⇒ (-m + n - p + q) : 5.

 

(m + n + p + q ) : 5 и q : 5  ⇒  (m + n + p) : 5.

(m + n + p + q ) : 5 и (-m + n - p + q) : 5  ⇒  2(n + q) = ((m + n + p + q) + (-m + n - p + q)) :5 ⇒

⇒ (n+q) : 5 .

Значит n : 5

(m + n + p) :5  и   n : 5   ⇒   ( m + p) : 5.

 

При х = 2,  Р(2) = 8m + 4n + 2p + q  ⇒  8m + 4n + 2p + q = ((5m + 4n + q) + 2(m + p) + m) : 5 

 ⇒ m : 5  и наконец   р : 5