Ответы и объяснения

2013-02-15T20:37:30+00:00
2013-02-15T20:48:00+00:00

Чтобы найти наибольшее значение на отрезке, нужно найти экстремумы функции и сравнить их со значенями функции на концах отрезка. Подозрительные на экстремум точки - это точки, в которых производная функции равна нулю. Найдем производную и выясним, в каких точках она равна нулю.

y=20cosx+10\sqrt{3}x-\frac{10\sqrt{3}\pi}{3}+7\\ y'=(20cosx+10\sqrt{3}x-\frac{10\sqrt{3}\pi}{3}+7)='\\ =(20cosx)'+(10\sqrt{3}x)'-(\frac{10\sqrt{3}\pi}{3})'+7')'=\\ =-20sinx+10\sqrt{3}-0+0=-20sinx+10\sqrt{3}=\\ =-10(2sinx-\sqrt{3})\\

Выясним в каких точках производная равна нулю.

-10(2sinx-\sqrt{3})=0\\ 2sinx-\sqrt{3}=0\\ 2sinx=\sqrt{3}\\ sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x=(-1)^n arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n, \ \ n E Z\\ x=(-1)^n \frac{\pi}{3}+\pi n, \ \ n E Z\\

В условиях задачи задан отрезок [0;п/2], поэтому нам нужно выбрать только значения из этого промежутка. Этому условию удовлетворяет только точка x=п/3.

Найдем значение функции в этой точке:

y(\frac{\pi}{3})=20cos(\frac{\pi}{3})+10\sqrt{3}*\frac{\pi}{3}-\frac{10\sqrt{3}\pi}{3}+7=\\ =20*\frac{1}{2}+7=17

 

Найдем значения функции на концах отрезка:

y(0)=20cos0+10\sqrt{3}*0-\frac{10\sqrt{3}\pi}{3}+7=\\ =20*1+0-\frac{10\sqrt{3}\pi}{3}+7=\\ =27-\frac{10\sqrt{3}\pi}{3}\\

y(\frac{\pi}{2})=20cos(\frac{\pi}{2})+10\sqrt{3}*\frac{\pi}{2}-\frac{10\sqrt{3}\pi}{3}+7=\\ =0+\frac{10\sqrt{3}\pi}{6}+7=\\ =7+\frac{10\sqrt{3}\pi}{6}\\

Выбираем максимальное из трех значений

это 17