Ответы и объяснения

2013-02-02T18:10:03+04:00

Формула Ньютона-Лейбница:

\int\limits^a_b {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)=F|_a^b

Иными словами разность значений первообразной в точке b и a,опуская числовые константы.

а)

\int{(4x+3-\frac{4}{x^2})}\, dx

F(x)=2x^2+3x+\frac{4}{x}

\int\limits^2_1 {(4x+3-\frac{4}{x^2})} \, dx =F(2)-F(1)=16-9=7

б)

\int{(\frac{\sqrt{x}}{x}+8(2x-5)^3)}\, dx

F(x)=2\sqrt{x}+(2x-5)^4

\int\limits^4_1 {(\frac{\sqrt{x}}{x}+8(2x-5)^3)} \, dx =F(4)-F(1)=85-83=2

в)

\int{\frac{dx}{cos^2x-1}}

cos^2x-1=-sin^2x

F(x)=ctgx

\int\limits^{-\frac{\pi}{4}}_{-\frac{\pi}{2}} {\frac{dx}{cos^2x-1}}=F(-\frac{\pi}{4})-F(-\frac{\pi}{2})=-1-0=-1

г)

\int{(cos\frac{x}{8}-sin\frac{x}{8})^2}\, dx

(cos\frac{x}{8}-sin\frac{x}{8})^2=cos^2\frac{x}{8}-2cos\frac{x}{8}sin\frac{x}{8}+sin^2\frac{x}{8}=1-sin\frac{x}{4}

F(x)=x+4cos\frac{x}{4}

\int\limits^{2\pi}_0{(cos\frac{x}{8}-sin\frac{x}{8})^2}\, dx=F(2\pi)-F(0)=2\pi+0-0-4=2\pi-4