заплачу все баллы, только прошу вас решите!!!
1. Вычислить производные функции:
Результаты представть в простой форме.

2. Определить экстрэмум функций и монотонности:

1

Ответы и объяснения

2013-01-29T01:00:43+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

(a)\quad f(x)=3x^2\sqrt[3]x-4x^3\sqrt[4]x+4x^{-\frac12}=3x^2x^{\frac13}-4x^3x^{\frac14}+4x^{-\frac12}=\\ =3x^{(2+\frac13)}-4x^{(3+\frac14)}+4x^{-\frac12}=3x^{\frac73}-4x^{\frac{13}4}+4x^{-\frac12}\\ f'(x)=\frac73\cdot3x^{(\frac73-1)}-\frac{13}4\cdot4x^{(\frac{13}4-1)}-\frac12\cdot4x^{(-\frac12-1)}=\\ =7x^{\frac43}-13x^{\frac94}-2x^{-\frac32}\\ (b)\quad s(t)=e^{2t}\sin t\\ s'(t)=\left(e^{2t}\right)'\cdot\sin t+e^{2t}\cdot(\sin t)'=2\cdot e^{2t}\sin t+e^{2t}\cos t

(c)\quad g(x)=(1+\sqrt x)(1+\sqrt{2x})^{-1}=\frac{1+\sqrt x}{1+\sqrt{2x}}\\ g'(x)=\frac{(1+\sqrt x)'(1+\sqrt {2x})-(1+\sqrt x)(1+\sqrt {2x})'}{(1+\sqrt{2x})^2}=\frac{\frac{1+\sqrt{2x}}{\sqrt x}-\frac{2(1+\sqrt x)}{\sqrt{2x}}}{(1+\sqrt{2x})^2}=\\ =\frac{\frac{2+2\sqrt{2x}-2-2\sqrt x}{\sqrt{2x}}}{(1+\sqrt{2x})^2}=\frac{\sqrt x(\sqrt{2}-1)}{\sqrt2\sqrt x(1+\sqrt{2x})^2}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt2(1+\sqrt{2x})^2}=\\ =(2^{\frac12}-1)2^{-\frac12}(1+\sqrt{2x})^{-2}=(1-\sqrt2)(1+\sqrt{2x})^{-2}

(d)\quad h(x)=x+\sqrt{4-x^2}\\ h'(x)=1-\frac{2x}{2\sqrt{4-x^2}}=1-\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}=1-(4-x^2)^{-\frac12}\\ (e)\quad w(x)=x\sqrt{4-x^2}\\ w'(x)=\sqrt{4-x^2}-\frac{x\cdot2x}{2\sqrt{4-x^2}}=(4-x^2)^{\frac12}-x^2(4-x^2)^{-\frac12}

2(a)\quad f(x)=x^4-8x^2\\ f'(x)=4x^3-16x\\ 4x^3-16x=0\\ 4x(x^2-4)=0\\ 4x=0\Rightarrow x=0\\ x^2-4=0\Rightarrow x=\pm2\\ x\in(-\infty,-2)\Rightarrow f'(x)>0\\ x\in(-2,0)\Rightarrow f'(x)<0\\ x\in(0,2)\Rightarrow f'(x)<0\\ x\in(2,+\infty)\Rightarrow f'(x)>0

В точке x=-2 производная меняет знак с + на -, значит в этой точке экстр.максимум.

В точке x=2  производная меняет знак с - на +, значит в этой точке экстр.минимум.

Функция монотонно возрастает на интервале, если её производная на этом интервале >0, убывает - если <0.

f(x) монотонно возрастает на (-\infty,-2)\cup(2,+\infty) и монотонно убывает на (-2,2).

(b)\quad g(x)=3x^4-4x^3+1\\ g'(x)=12x^3-12x^2\\ 12x^3-12x^2=0\\ 12x^2(x-1)=0\\ 12x^2=0\Rightarrow x=0\\ x-1=0\Rightarrow x=1\\ x\in(-\infty,0)\Rightarrow g'(x)<0\\ x\in(0,1)\Rightarrow g'(x)<0\\ x\in(1,+\infty)\Rightarrow g'(x)>0

В точке x=1 производная меняет знак с - на +, значит в этой точке экстр.минимум.

g(x) монотонно возрастает на (-\infty,1), монотонно возрастает на (1,+\infty)

(c)\quad h(x)=x^3-7x^2+15x-9\\ h'(x)=3x^2-14x+15\\ 3x^2-14x+15=0\\ D=196-4\cdot3\cdot15=16=4^2\\ x_1=6,\quad x_2=3\frac13\\ x\in(-\infty,3\frac13)\Rightarrow h'(x)<0\\ x\in(3\frac13,6)\Rightarrow h'(x)<0\\ x\in(6,+\infty)\Rightarrow h'(x)>0

В точке x=6 производная меняет знак с - на +, значит в этой точке экстр.минимум.

h(x) монотонно убывает на (-\infty,6), монотонно возрастает на (6,+\infty)