Найдите наименьшее значение функции y=2cosx+18/П*x+7 на отрезке [-2П/3;0]

помогите пожалуйста, если не трудно с объяснением

1

Ответы и объяснения

2013-01-25T15:35:35+04:00

 y=2cos(x)+\frac{18}{\pi}x+7

Чтобы найти наименьшее значение на отрезке надо сначала найти производную.

y'=(2cos(x)+\frac{18}{\pi}x+7)'=\frac{18}{\pi}-2sinx

Теперь надо решить уравнение y'=0, или в нашем случае: 

 

 \frac{18}{\pi}-2sinx=0, x \in [-\frac{2\pi}{3},0]

 

 

 

 Решим его:

\frac{18}{\pi}-2sinx=0 \\ 2sinx=\frac{18}{\pi} \\ sinx=\frac{9}{\pi}

Отсюда получается что sin(x)>1 этого быть не может значит производная не может быть равна нулю, значит она всегда постоянного знака. Потому что любая смена знака происходит через 0.

 

 

 Кроме того, очевидно, что  \frac{18}{\pi}-2sinx >0, потому что 2sinx не больше 2, а  \frac{18}{\pi} \approx 5.7, значит самое минимальное значение производно будет равно 3,7 а это явно больше 0.

 

 

Поскольку производная всегда больше 0, то функция является возрастающей, т.е.  

 

 

 y(x1)<y(x2), если x1<x2

Значит минимальное значение функция принимает на левой границе нашего отрезка.

 

 Теперь надо просто подставить x=-\frac{2\pi}{3} и найти y

 

 Подставляем:

y=2cos(-\frac{2\pi}{3})+\frac{18}{\pi}\cdot (-\frac{2\pi}{3})+7= \\=2\frac{\sqrt{3}}{2}-12+7=\sqrt{3}-5\approx -3,268

 

Ответ: наименьшее значение функции равно \sqrt{3}-5