на отрезке [1;3] наибольшее значение первообразной для функции f(x)=4x+1 равно 22. .Найдите наименьшее значение этой первообразной на данном отрезке

1

Ответы и объяснения

2013-01-23T18:42:49+00:00

Находим "первообразную":

 

F(x) = \int f(x) dx = \int (4x+1) dx = 4\frac{x^2}{2} + x + A = 2x^2 + x + A,

 

где A = const – константа интегрирования

 

Экстремумы у F(x), кстати, будут при:

 

f(x) = 0 \Rightarrow 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{4}

 

А на отрезке от 1 до 3 первообразная монотонно \frac{df}{dx} = 4 > 0 возрастает. То есть наибольшее значение будет при x=3, а наименьшее — при x=1.

 

Находим константу интегрирования A:

 

F|_{x=3} = 2 \cdot 3^2 + 3 + A = 22

 

21 + A = 22 \Rightarrow A = 1

 

Искомая первообразная имеет вид:

 

F(x) = 2x^2 + x + 1

 

Её значение при x=1:

 

F(1) = 2 \cdot 1^2 + 1 + 1 = 4