8. Найдите наименьшее значение функции y=2tgx-4x+П-3 на отрезке [-П/3;П/3]

1

Ответы и объяснения

2013-01-23T13:59:38+00:00

1) Найдем производную от данной функции

y' = \frac{2}{cos^{2}x} - 4

2)Найдем критические точки:

 \frac{2}{cos^{2}x} - 4 = 0 \\ => cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ <=> x = \pi + 2 \pi k\\ x = \frac{3\pi}{4} + 2 \pi n

3)Найдем корни из заданного промежутка [-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]:
    a) -\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k\leq \frac{\pi}{3}| - \frac{\pi}{4}; :2\pi\\ -\frac{7}{24} \leq k \leq \frac{1}{24}\\ => k = 0\\ => x = \frac{\pi}{4}

    b) -\frac{\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\leq \frac{\pi}{3}| - \frac{3\pi}{4}; :2\pi\\ -\frac{13}{24} \leq n \leq -\frac{5}{24}\\ => n = 0\\ => x = \frac{3\pi}{4}

 

4) Из двух найденных корней видно, что x_{min} = \frac{\pi}{4}\\ => y_{min} = 2 \cdot tg\frac{\pi}{4} - 4\frac{\pi}{4} + \pi - 3 = -1

 

Ответ: -1