Помогите, пожалуйста, решить систему логарифмических уравнений.

1

Ответы и объяснения

  • miad
  • светило науки
2013-01-23T13:01:55+04:00

\begin{cases} log^3_3 y^2+(\frac{1}{5})^{-3x}=127 \\ log^2_3 y^2-2(\frac{1}{5})^{-x} \cdot log_3y=127-25^x \end{cases}

Упростим:

\begin{cases} 8log^3_3 y+5^{3x}=127 \\ 4log^2_3 y-2 \cdot 5^x \cdot log_3y=127-5^{2x} \end{cases}

Сделаем замену log_3y=a \ \ \ \ \ \ \ 5^x=b

\begin{cases} 8a^3+b^3=127 \\ 4a^2-2 \cdot b \cdot a=127-b^2 \end{cases}

Верхнее уравнение расложим на множители как сумма кубов:

\begin{cases} (2a+b)(4a^2-2ab+b^2)=127 \\ 4a^2-2ab+b^2=127 \end{cases}

Подставим в верхнее уравнение вместо второго множителя 127:

\begin{cases} (2a+b)127=127 \\ 4a^2-2ab+b^2=127 \end{cases}

Упростим: \begin{cases} 2a+b=1 \\ 4a^2-2ab+b^2=127 \end{cases}

Выразим из верхнего уравнения b через a:

\begin{cases} b=1-2a \\ 4a^2-2a(1-2a)+(1-2a)^2=127 \end{cases}

Упростим нижнее уравнение:

\begin{cases} b=1-2a \\ 4a^2-2a+4a^2+1-4a+4a^2=127 \end{cases} \begin{cases} b=1-2a \\ 12a^2-6a-126=0 \end{cases}

\begin{cases} b=1-2a \\ 2a^2-a-21=0 \end{cases}

Нижнее уравнение представляет собой квадратное уравнение, найдем его дискриминант: D=1-4*2*(-21)=169=13^2

Тогда корни можно найти как: a_{1;2}=\frac{1 \pm 13}{2*2}

\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a_1=3.5 \hfill \\ b=1-2a \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a_2=-3 \hfill \\ b=1-2a \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.

Вычислим b:

\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a_1=3.5 \hfill \\ b_1=-6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a_2=-3 \hfill \\ b_2=7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.

Произведем обратную замену:

\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} log_3y=3.5 \hfill \\ 5^x=-6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} log_3y=-3 \hfill \\ 5^x=7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.

В верхней системе нижнее уравнение 5^x=-6 не имеет решений, поэтому остается только нижняя система:

\begin{cases} log_3y=-3 \\ 5^x=7 \end{cases}

Её решение:

\begin{cases} y=3^{-3} \\ x=log_57 \end{cases}  

ОТВЕТ: (log_57;\frac{1}{27})