Написать уравнение касательной и нормали к графику функции

Помогите пожалуйста очень нужно. в низу пример на скрине.

1

Ответы и объяснения

  • strc
  • почетный грамотей
2013-01-21T09:04:35+00:00

y = 5sinx + 3 cosx\\ x_{0} = \frac{\pi}{2}

уравнение касательной имеет общий вид

(y - y_{0})=k*(x-x_{0})\\ y(= 5*cos\frac{\pi}{2}+ 3sin\frac{\pi}{2} = 5\\ (y - 5) =k*(x-x_{0})\\ k = y'(x_{0}) = 5cosx - 3sinx = 5cos\frac{\pi}{2} - 3sin\frac{\pi}{2} = -3\\ (y - 5) = -3(x-x_{0})\\ x_{0}=\frac{\pi}{2} \\ (y - 5) = -3(x-\frac{\pi}{2} )\\ y - 5 = -3x + \frac{3\pi}{2}\\ y = -3x + \frac{3\pi}{2}+5\\

уравнение нормали к графику имеет схожий вид

(y - y_{0})=-\frac{1}{k}(x-x_{0})\\

значения нам уже известны, подставляем их

(y - 5)=-\frac{1}{-3}(x-\frac{\pi}{2})\\ y - 5 = \frac{1}{3}x - \frac{\pi}{6}\\ y = \frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} + 5

в итоге уравнение касательной -  y = -3x + \frac{3\pi}{2}+5

уравнение нормали y = \frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} + 5