В четырёхугольнике ABCD на сторонах отмечены четыре точки, делящие стороны в отношении 1:4, считая от вершин B и D. Докажите, что отмеченные точки являются вершинами параллелограмма

1

Ответы и объяснения

2013-01-20T14:00:31+00:00

обозначим точку на стороне AB за B1, на стороне BC за B2, на стороне DC - D2 и на стороне DA - D1

 

тогда BB1/BA=1/5 BB2/BC=1/5 => треугольник BB1B2 подобен треугольнику BAC по двум сторонам и углу(общий угол B)=> углы BB1B2 и BAC равны, аналогично равны углы BB2B1 и  BCA => прямая B1B2 || прямой AC(диагонали)

 

аналогично доказывается, что D1D2 || AC => B1B2 || D1D2 по свойству транзитивности

 

аналогично доказывается, что B2D2 || второй диагонали BD, и B1D1 || BD

 

отсюда следует, что в четырехуголнике B1B2D2D1 противоположные стороны параллельны => этот четырехугольник - параллелограмм

 

что и требовалось доказать