Образующая конуса, вписанного в шар, равна 8 см, а радиус шара 5см. Найдите объем конуса.

Просьба с рисунком и поподробней.

1

Ответы и объяснения

  • Hrisula
  • Ведущий Модератор
2013-01-18T09:44:56+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Рассмотрим рисунок, вложенный в решение.

ᐃ АВС - осевое сечение конуса, вписанного в шар с центром О.
АВ=ВС - его образующие
АС= диаметр основания конуса
НС- радиус основания конуса
ВН -высота конуса
ВМ- диаметр шара
ВО - радиус шара

 Формула объема конуса

V=⅓ πr²h

 Для нахождения объёма необходимо знать высоту ВН и радиус r конуса.

Высота ВН равна разности ВМ и МН
Соединим точку М диаметра шара и точку С диаметра конуса.
Рассмотрим треугольник ВСМ.
∠ВСМ - прямой, поскольку опирается на диаметр окружности.
Гипотенуза этого треугольника равна 2R и равна 10 см
Катет ВС - образующая конуса и равен 8 см
Катет МС по теореме Пифагора
МС =√(100-64)=6 см
Чтобы найти r, обозначим отрезок ОН = х.
Тогда
r=НС
ВН= 5+х
МН=5-х
Выразим высоту НС²= r² через известные величины треугольника ВСМ
r²=ВС² - ВН²
r²=МС²-МН²
Приравняем выражения, обозначающие значение r² (иначе НС²)
ВС² - ВН²=МС²-МН²
8² -(5+х)²= 6²-(5-х)²
64 - 25 -10х -х²=36 -25 +10х -х²
64 -10х =36 +10 х
28=20х
х=1,4
ОН=1,4
Из треугольника МНС найдем НС- радиус основания конуса
r²=МС²- МН²
МН=R - ОН=5-1,4 = 3,6 см
r²=36 -12,96=23,04

r=√23,04=4,8 см

V конуса=⅓ πr²h

V=π*4,8²*6,4:3=π*49,152 см³ 

или приближенно 154,4 см³ ( если на калькуляторе умножать на значение π )

-----

Вариант решения:

Для нахождения объёма необходимо знать высоту ВН и радиус r конуса. 
Рассмотрим треугольник ВСМ.∠ВСМ - прямой, поскольку опирается на диаметр окружности.
 Гипотенуза этого треугольника равна 2R и равна 10 см
 Катет ВС - образующая конуса и равен 8 см 
В прямоугольном треугольнике  катет  есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. Иными словами, квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на  проекцию этого катета на гипотенузу
В треугольнике ВСМ  отрезок ВН - проекция катета ВС на гипотенузу. ВС²=ВН*ВМ 
64=10*ВН 
ВН=6,4 - это высота конуса. 
СН - радиус конуса, который в то же время является высотой прямоугольного треугольника МВС, проведенной к гипотенузе.
 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой; 
ВН мы нашли, он равен 6,4.
Отрезок НМ равен 10-6,4=3,6 
СН²=6,4*3,6=23,04 
СН=r=4,8 
V конуса=⅓ πr²h 
V=π*4,8²*6,4:3=π*49,152 см³