Ответы и объяснения

2013-01-14T18:16:02+04:00
9x4 - 10x2 + 1= 0. (3) 

Так как x= 0 не является корнем уравнения (3), то обе его части можно разделить на х2. 

9x2 - 10 + 1/x2= 0. 

Введем обозначение y= 3x + 1/x2. Тогда y2= 9x2 + 6 + 1/x2 или y2 - 6= 9x2 + 1/x2. 

Поэтому y2 - 6 - 10= 0; y2= 16; y= - 4 или y= 4. 

Решая уравнения 3x + 1/x2= -4 и 3x + 1/x2= 4 находим все четыре корня уравнения (3):± 1/3;±1. 

Справедливости ради, следует отметить, что приведенный нами способ решения уравнения (3) не рациональнее общепринятого способа решения трехчленных уравнений, в частности биквадратных. Однако, рассмотренный нами способ, может быть использован в дальнейшем при решении так называемых симметрических уравнений. 

Кроме, этого полезно обсудить с учащимися вопрос о том, случайно или неслучайно при решении биквадратного уравнения получены пары взаимно противоположных корней. 

Приведем без комментариев еще одно решение уравнения (3). 

9x4 - 10x2 + 1= 0; 9x4 - 6x2 + 1 - 4х2= 0; (3х2 - 1)2= 4х2; 

3х2 - 1= -2х или 3х2 - 1= 2х. Думаю, что читатель сам завершить это решение. 

Конечно, уравнение (3) имеет и другие решения. В частности, корни±1 можно подобрать устно, а далее легко разложить многочлен 9x4 - 10x2 + 1 на множители, один из которых равен х2 - 1= (х - 1)(х + 1) методом предложенным, например, в предыдущем выпуске. 
2013-01-14T18:22:17+04:00