В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в 60 градусов. На ребрах МА, МВ, МС взяты соответственно точки P, Q, R (середины этих ребер). Найти углы, которые образуют с плоскостью МАС следующую прямую: DP

1

Ответы и объяснения

2013-01-14T00:10:31+04:00

Вершина M пирамиды MABCD проектируется в точку O. Введем
систему координат следующим образом:

точку O примем за начало координат,

оси Ox и Oy направим параллельно сторонам основания,

а ось Oz— вдоль высоты пирамиды OM.
Выразим координаты точек:
A(–4; –2; 0), B(–4; 2; 0), C(4; 2; 0),
D(4; –2; 0), M(0; 0; 2 15 ,)
R(2; 1; 15 .)
Отрезок AR является высотой
в равностороннем треугольнике AMC,

поэтому прямая MR перпендикулярна ребру AR искомого 

двугранного угла.

Проведем в треугольнике ADR высоту DH.

Тогда останется найти  угол между прямыми MR и DH.
Найдем координаты векторов:

MR = {2; 1;- корень из 15 }
AR = {6; 3; корень из15 }
DA = {- 8; 0; 0}.
Так как векторы AH и AR - коллинеарны, то 

AH = k AR= ⋅ = {6k ; 3k ; корень из15 k}
Далее из равенства DH=DA+AH получаем 
DH= − {6k- 8;3k ; корень из15 k }

Теперь, используя условие DH ⊥ AR 

имеем уравнение
6(6k – 8) + 9k + 15k = 0.
Отсюда k = 0,8 и DH = {−3,2; 2,4; 0,8 корень из15 . }


Так как MR и DH — направляющие векторы прямых MR и 
DH соответственно, то для нахождения угла между этими прямыми
воспользуемся формулой :

 



cos ϕ=

 

 

в числителе   | - 6, 4 + 2, 4 - 12 | 

 

в знаметалеле под первым корнем : корень из 20  умнижить на корень из 25,6

получаем cos ϕ= корень из 2 на 2

Значит, угол между прямыми MR и DH и угол между данными
плоскостями равен = π/4


Ответ: π/4