Вершины дветысячеугольника занумерованы от 1 до 2000. Начиная с первой, закрашивается каждая 12-тая вершина (1, 13, 25 и т.д.). Вершины закрашиваются до тех пор, пока не окажется, что все вершины, которые требуется закрасить уже найдены. Сколько вершин останутся незакрашенными?

1

Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2013-01-09T17:02:24+04:00

Пусть вершина с номером k закрашена на круге с номером n + 1, n > 0. Тогда ее номер, отсчитанный по кругу, есть 2000n+k. Он должен иметь вид 12m+1. Получаем равенство k1=12m2000n. Из теории диофантовых уравнений известно, что уравнения такого вида разрешимы для всех k1, делящихся на НОД(12, 2000) = 4. Итак, закрашена будет каждая пятая вершина, т.е. всего 400 штук. Значит незакрашенных 1600