Найдите корни уравнения на заданном промежутке: cos^2(3x+pi/4)-sin^2(3x+pi/4)+sqrt3/2=0 x Э [3П/4;П]

1

Ответы и объяснения

2013-01-04T11:42:31+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Здесь применима формула двойного угла для косинуса.

\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos(2*\alpha)

Если обозначить выражение в скобках через t, то есть t=3x+\frac{\pi}{4},  то уравнение переписывается следующиим образом

\cos^2(t)-\sin^2(t)+\frac{\sqrt{3}}{2}=0.

\cos(2t)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Если подставить значение t, то получим

\cos\left(6x+\frac{\pi}{2} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Воспользуемся формулой косинуса суммы углов

\cos(6x)\cos(\frac{\pi}{2})-\sin(6x)\sin(\frac{\pi}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{2}

-\sin(6x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

\sin(6x)=\frac{\sqrt{3}}{2}

6x=(-1)^k*\frac{\pi}{3}+\pi*k, \quad k\in Z

x=(-1)^k*\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{6}*k, \quad k\in Z

Заметим, что при k=6, корень уже не попадает в заданный промежуток [\frac{3\pi}{4}; \pi],

k=5 \qquad -\frac{\pi}{18}+\frac{5\pi}{6}=-\frac{\pi}{18}+\frac{15\pi}{6}=\frac{14\pi}{18}=\frac{7\pi}{9}

Докажем, что \frac{7\pi}{9}\in [\frac{3\pi}{4};\pi]

\frac{7\pi}{9}=\frac{28\pi}{36};\quad \frac{3\pi}{4}=\frac{27\pi}{36}

\frac{28\pi}{36}\in (\frac{27\pi}{36};\pi)

k=4 \qquad \frac{\pi}{18}+\frac{4\pi}{6}=\frac{13\pi}{18} Этот корень уже не попадает в промежуток, потому что

\frac{13\pi}{18}=\frac{26\pi}{36}

\frac{26\pi}{36}<\frac{27\pi}{36}=\frac{3\pi}{4}

То есть всего лишь один корень попадает в этот промежуток

Ответ: при k=5  x=\frac{7\pi}{9}