При каком наибольшем натуральном n число n!+5n+52 является точным квадратом? (n!=1⋅2⋅…⋅n — произведение всех натуральных чисел то 1 до n)

1

Ответы и объяснения

  • miad
  • светило науки
2013-01-03T19:48:41+04:00

Предположим, что n\geq5, тогда левая часть при делении на пять будет всегда давать остаток 2.

Здачит и правая часть x^2 должна давать при делении на 5 остаток 2.

Но для квадратов остатки при делении на пять могут быть только 0, 1 или 4:

(5k)^2=25k^2+0

(5k\pm1)^2=25k^2 \pm10k+

(5k\pm2)^2=25k^2 \pm20k+4

Следовательно должно быть n<5

Тогде перебираем числа 1, 2, 3, 4:

1:  1!+5*1+52=1+5+52=59 не квадрат

2:  2!+5*2+52=2+10+52=64 квадрат

3:  3!+5*3+52=6+15+52=73 не квадрат

4:  4!+5*4+52=24+20+52=96 не квадрат

Следовательно решением является только значение n=2.