Помогите) нужно решить интегралы
1) интеграл dx/корень из х^3-3
7) интеграл х^2dx/корень из х^2+4
10) интеграл ln x dx буду благодарна)

1

Ответы и объяснения

2012-12-26T17:56:51+00:00

Решение: интеграл dx/(1+(кубический корень)(1+x)) =(1+x=t^3; dx=3*(t^2)*dt)=интеграл (3*t-3+3/(1+t))*dt=1,5*t^2-3*t+3*Ln(1+t)+C; 
интеграл dx/(1+(кубический корень)(1+x)) =1,5*(1+x)^(2/3)-3*(1+x)^(1/3)+3*Ln(1+(1+x)^(1/3))+C.

∫√(1-x²)dx=
тригонометрическая подстановка
x=sint => dx=costdt
=∫√(1-sin²t)•costdt=∫cos²tdt=½•∫(1+cos2t)dt=t/2+¼•sin2t+C=
=½•arcsinx+¼•sin(2arcsinx)+C=½•arcsinx+½•sin(arcsinx)•cos(arcsinx)+C=
=½•arcsinx+½•x•cos(arccos√(1-x²))+C=½•(arcsinx+x•√(1-x²)+C)

Можно сделать по частям.
∫√(1-x²)dx=
u=√(1-x²) => du=-xdx/√(1-x²);
dv=dx => v=x
=x•√(1-x²)+∫x²dx/√(1-x²)=x•√(1-x²)-∫(1-x²-1)dx/√(1-x²)=
=x•√(1-x²)-∫√(1-x²)dx+∫dx/√(1-x²) => 2∫√(1-x²)dx= x•√(1-x²)+arcsinx+C =>
∫√(1-x²)dx= ½•(x•√(1-x²)+arcsinx)+C 

 

 

  ∫ln(x)dx/x=
t=lnx => dt=dx/x
=∫tdt=t²/2+C=½•ln²x+C.