В окружность радиуса 4 см вписан квадрат, в который снова вписана окружность, и т.д. найдите сумму длин всех таких окружностей.

1

Ответы и объяснения

  • AssaX
  • середнячок
2011-02-17T19:20:24+00:00

Если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). Таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность: d = a \cdot \sqrt{2}, где a - сторона квадрата. Так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам: d = 2 \cdot R. Тогда выразим длину стороны квадрата: 2 \cdot R = a \cdot \sqrt{2} \\a = \frac{2 \cdot R}{\sqrt{2}}

 

Если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата: r = \frac{a}{2}. Подставив предыдущую формулу в данную, получим: r = \frac{R}{\sqrt{2}}.

 

Таким образом мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию радиусов окружностей. Первый элемент r_1 = 4, знаменатель прогресии q = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Сумма всех радиусов равна S_r = \frac{r_1}{1 - q } = \frac{4}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}.

 

Тогда сумма длин всех окружностей: C_s = 2 \cdot \pi \cdot S_r = \\= 2 \cdot \pi \cdot \frac{4}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} =  \\ = \frac{8 \cdot \pi \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} =  \\ = 8 \cdot \pi \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} + 1)