В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а один из острых углов равен ß. Выразите через с и ß биссектрису второго острого угла

2

Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2012-12-24T14:18:03+04:00

с - гипотенуза

a,b - катеты

<B=ß

<C=90

a=c*cosß (1)

b=c*sinß  (2)

длина биссектрисы

La=√(bc(a+b+c)(b+c-a))  /(b+c) <-----подставим (1)(2)

La=√(c*sinßc(c*cosß+c*sinß+c)(c*sinß+c-c*cosß))  /(c*sinß+c)=

     =с√(sinß(cosß+sinß+1)(sinß+1-cosß))  /(sinß+1)=

     =с√(sinß(sinß+1+cosß)(sinß+1-cosß))  /(sinß+1)=

      =с√(sinß((sinß+1)^2-cosß^2))  /(sinß+1)=

       =с√(sinß((sinß+1)^2-(1-sinß^2))  /(sinß+1)=

        =с√(sinß((sinß+1)^2-1+sinß^2))  /(sinß+1)=

         =с√(sinß((sinß^2+2sinß2+1-1+sinß^2))  /(sinß+1)=

           =с√(sinß(2sinß^2+2sinß2))  /(sinß+1)=

            =с√(2sinß^2(sinß+1))  /(sinß+1)=

             =с*sinß√(2/(sinß+1))  <------если сможешь преобразуй дальше )

Лучший Ответ!
  • fou
  • ученый
2012-12-24T14:38:38+04:00

Биссектриса делит угол пополам, а сумма острых углов равна 90 градусов, значит биссектриса делит острый угол на углы равные (90-ß)/2.

Тогда найбольший угол в меньшем треугольнике с гипотенузой равен:

180 - ß - (90-ß)/2 = (360 - 2ß-90 + ß)/2 = (270-ß)/2

Используем теорему синусов:

\frac{c}{sin(\frac{270-\beta}{2})} = \frac{x}{sin\beta}

Где х - искомая биссектриса. Получаем:

\frac{c}{sin(\frac{270-\beta}{2})} = \frac{x}{sin\beta}\\ x=\frac{c\cdot sin\beta}{sin(\frac{270-\beta}{2})} = \frac{c\cdot sin\beta}{sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\beta}{2})}