В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в кочке K,лежащей на стороне BC.Найдите площадь параллелограмма ABCD,если AK=6,BC=10.

1

Ответы и объяснения

  • fou
  • ученый
2012-12-24T12:19:50+04:00

Я думаю рисунок начертишь.

Параллелограмм, сумма всех углов равна 360 град, сумма углов при каждом основании равна 180 град. Значит две биссектрисы, проведенный из углов при одном основании, образуют треугольник, сумма углов при основании которого равна 180/2 = 90 градусов. Значит и третий угол AKD тоже равен 90 град.

Получается прямоугольный треугольник с известными катетами, найдем гипотенузу AD:

AD=\sqrt{KD^{2}+AK^{2}} = \sqrt{36+100} = \sqrt{136}=2\sqrt{34}

Площадь треугольника AKD равна полупроизведению катетов, то есть

6 * 10 / 2 = 30

Высота треугольника AKD совпадает с высотой параллелограмма.

Площадь треугольника AKD также равна полупроизведению высоты на основание. Найдем высоту:

S = \frac{1}{2}h\cdot AD

(Из этой формулы уже можно найти площадь параллелограмма, если умножим уравнение на 2 получим, что площадь параллелограмма равна двум площадям треугольника.)

h = \frac{2S}{AD} = \frac{60}{2\sqrt{34}}=\frac{30}{\sqrt{34}}

Теперь находим площадь параллелограмма:

S_{ABCD} = h\cdot AD = \frac{30}{\sqrt{34}}\cdot 2\sqrt{34} = 60