Докажите, что для любого натурального n справедливо неравенство

2*3^n≤2^n+4^n

Когда выполняется равенство?

1

Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2012-12-22T17:34:19+00:00

2*3^n≤2^n+4^n

преобразуем

2  ≤ (2^n+4^n ) / 3^n = (2/3)^n +(4/ 3)^n 

в правой части оба слагаемые положительные числа

первое слагаемое  (2/3)^n - дробь -всегда меньше  1

второе слагаемое  (4/3)^n - дробь -всегда  больше  1

достаточное условие доказательства , чтобы одно из слагаемых было БОЛЬШЕ  2

рассмотрим n=1,2,3

n=1    

(2/3)^1 +(4/ 3)^1 = 2/3+4/3=6/3 =2 <-----------выполняется равенство  4/3  < 2

n=2

(2/3)^2 +(4/ 3)^2 = 4/9+16/9=20/9 =2+2/9 >2 <------выполняется НЕравенство  16/9  < 2

n=3

(2/3)^3 +(4/ 3)^3 = 8/27+64/27=72/27 =2+18/27 <----выполняется НЕравенство  64/27 > 2

второе слагаемое  (4/3)^n  > 2 , для всех  3 ≤ 

следовательно,   для любого натурального n справедливо заданное неравенство

ДОКАЗАНО