В равностороннем треугольнике большая сторона составляет 75% суммы двух других. Точка М, принадлежащая этой стороне является концом биссектрисы треугольника. Найдите расстояние от точки M до меньшей стороны треугольника, если меньшая сторона треугольника равна 4 см.

1

Ответы и объяснения

2012-12-21T04:59:51+00:00

Пусть в треугольнике АВС равные стороны АВ и АС равны х, тогда большая сторона ВС равна 0.75*(х+х)=1.5х
Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса к основанию является медианой и высотой, то есть точка М делит основание пополам ВМ=МС=0.75х. Рассмотрим треугольник АМС. В нем угол АМС прямой, АМ=4 по условию.По теореме Пифагора АС^2=АМ^2+МС^2, то есть х^2=4^2+0.75х^2, откуда х=АС=16/корень из 7. Далее по теореме синусов АМ/синусАСМ=АС/синусАМС, то есть 4/синус АСМ =16/корень из 7, откуда синус АСМ=корень из 7/4.
Проведем в треугольнике АМС высоту МН, это и будет искомое расстояние. Тогда в треугольнике МНС по теореме синусов МН/синус АСМ=МС/синус МНС. Угол МНС прямой, МС=0.75х=12/корень из 7, таким образом после подставления получаем, что МН=3