Помогите пожалуйста, знаю, что задания впринципи легкие, но я гуманитарий(

Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Y=-x4+2x2+3 [0,5;0,7]

y=x2/3(x-3). [-8;-1]

[-Y=tgx+ctgx [-pi/6; pi/3]

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-12-15T15:46:20+00:00

1)y' = 4x^3 + 4x

В точках экстремума производная равна нулю.

4x^3 + 4x=0

4x(x^2 + 1) = 0

4x = 0

x = 0 Не входит в данный промежуток.

x^2 + 1 = 0

x^2 = -1 Нет решений!

Значит тут одна точка экстремума.

Данный промежуток находится справа от точки экстремума. Нужно определить возрастает, или убывает функция на промежутке (0; +\infty)

Берем любую точку из этого промежутка, например, х = 1, и подставляем в производную.

yy'(1) > 0

Значит наименьшее значение находится в точке х = 0,5. А наибольшее значение в точке х = 0,7

у(0,7) = 0,2401 + 0,98 + 3 = 4,2201 Наибольшее значение функции

у(0,5) = 0,0625 + 0,5 + 3 = 3,5625 Наименьшее значение функции

 

2) y' = \frac{2x \cdot (3x - 9) - 3x^2}{(3x - 9)^2} = \frac{3x^2 - 18x}{(3x - 9)^2}

Приравниваемп роизводную к нулю.

\frac{3x^2 - 18x}{(3x - 9)^2} = 0

(3x - 9)^2 \neq 0 

\neq 3

 

3x^2 - 18x = 0

3x(x-6)=0

3x = 0

x_1 = 0 Не входит в данный промежуток

x - 6 = 0

x = 6 Не входит в данный промежуток

 

Наш промежуток находится слева от х = 0

Нужно определить возрастает, или убывает функция на промежутке (-\infty ; 0)

Берем любую точку из этого промежутка, например, х = -1, и подставляем в производную.

y'(-1) > 0

Значит функция возрастает. Значит наименьшее значение находится в точке х = -8. А наибольшее значение в точке х = -1.

y(-1) = -\frac{1}{12}

y(-8) = -\frac{64}{33}

 

3) y' = \frac{1}{cos^2x} - \frac{1}{sin^2x}

приравниваемп роизводную к нулю.

\frac{sin^2x - cos^2x}{sin^2x \cdot cos^2x} = 0

\frac{-cos2x}{sin^2x \cdot cos^2x}

sin^2x \cdot sin^2x ≠ 0

x ≠ π+2πn 

x ≠ \frac{\pi}{2} + πn

-cos2x = 0

2x = \frac{\pi}{2}

x = \frac{\pi}{4} Входит в данный промежуток

На промежутке (- \infty ; [tex]\frac{\pi}{4})[/tex] берем любое значение, например, -\frac{\pi}{6}, и подставляем его в производную.

y'(-\frac{\pi}{6}) < 0

Значит на этом промежутке функция убывает. И x = \frac{\pi}{4} является точкой минимума. Значит на этом промежутке в этой точке наименьшее значение функции.

y(\frac{\pi}{4}) = tg(\frac{\pi}{4}) + ctg(\frac{\pi}{4}) = 2

Что бы найти наибольшее значение, надо найти значение функции на границах промежутка, и выбрать из них наибольшее.

y(-\frac{\pi}{6}) = tg(-\frac{\pi}{6}) + ctg(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt 3} - \sqrt 3 = -\frac{4}{\sqrt 3} 

y(\frac{\pi}{3}) = tg(\frac{\pi}{3}) + ctg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt 3 + \frac{1}{\sqrt 3} = \frac{4}{\sqrt 3}

 

Наибольшим является y(\frac{\pi}{3}) = \frac{4}{\sqrt 3}

Наименьшим является y(\frac{\pi}{4}) = 2