ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ХОТЬ С ОДНИМ 1)Даны векторы a и b: |а|=6, |b|=3, (угол ab) = 120. НАйти |a+2b| 2)В пирамиде DABC ребра DA, DB, DC взаимно перпендикулярны и равны а. Используя векторы, найдите угол между плоскостями DAB и ABC. 3)При движении прямая а отображается на прямую a1,а плоскость альфа - на плоскость альфа1. Доказать что если a||альфа, то a1||альфа 1

1

Ответы и объяснения

2012-12-13T14:19:21+00:00

При решении задач аналитической геометрии будем использовать действия над векторами, заданными в координатной форме.
Пусть даны векторы и . Тогда:
1) при сложении (вычитании) векторов получим вектор ;
2) при умножении вектора на число λ получим вектор ;
3) при скалярном произведении векторов получим число .
Расстояние между двумя точками
Даны точки А (xA, yA) и В (xВ, yВ). Расстояние между ними найдем, как длину вектора = (xВ – xА, yB - yA). Из скалярного произведения имеем . Подсчитав скалярное произведение через координаты вектора , получаем расстояние между двумя точками
. (1)
Угол между двумя векторами
Даны два вектора: и . Косинус угла между ними:
. (2)
Деление отрезка в заданном отношении
Пусть даны точки А (xА y А), и В (xВ y В ). Требуется найти координаты точки С (x, y ) , делящей отрезок АВ в заданном отношении λ:
В
A С
.


Для решения задачи воспользуемся действием умножения вектора на число. Перепишем отношение в виде: |AC|=λ| CB|. Такое соотношение длин может быть получено при выполнении действия .
В равных векторах равны соответствующие координаты:
.
Из этих уравнений найдем неизвестные координаты точки С:
. (3)
В частности, для середины имеем и поэтому λ=1. Следовательно, координаты середины отрезка находятся по формулам:
(4)
Условия параллельности и перпендикулярности векторов
Так как скалярное произведение двух перпендикулярных векторов и равно 0, то условием перпендикулярности отличных от нуля векторов будет равенство .
При умножении вектора на скаляр получаем вектор одного направления с при λ > 0и противоположного направления при λ < 0. Но всегда векторы будут параллельны.
Поэтому условием параллельности векторов будет пропорциональность их соответствующих координат: .
Пример. Найти длину медианы СЕ в треугольнике АВС с вершинами: А (3,3), В (–1,1), С (0,1).
Решение. Так как Е – середина отрезка АВ, то по формуле (4) имеем:
.
Длину медианы СЕ найдем по формуле (1):
.
Пример. Какие из векторов будут параллельны и какие перпендикулярны между собой?
Решение. Векторы перпендикулярны, т.к. . Векторы параллельны, т.к. .
Пример. Найти геометрическое место точек, удаленных от точки А(а,b) на одно и тоже расстояние R.
Решение. Если М(х,у) – произвольная точка искомого геометрического места, то всегда |АМ|=R или ,
(х-а)2 + (у-b)2 = R2 – искомое уравнение.