Ответы и объяснения

2012-12-02T14:37:18+00:00

1)а)x_n=\frac{4n-5}{n}

x_n=4-\frac{5}{n}

-\frac{5}{n} бесконечно малая

б)<span>\lim_{n \to +\infty} x_n=<span>\lim_{n \to +\infty}4-\frac{5}{n}=4-0=4

2)а)\lim_{n \to +\infty}\frac{2n+5}{n}=\lim_{n \to +\infty}2+\frac{5}{n}=2+0=2

б)\lim_{n \to +\infty}\frac{5n^2-2n+3}{2n^2+3n+2}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2}{n^2}\frac{5-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{2+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}=1*\frac{5-0+0}{2+0+0}=\frac{5}{2}

в)\lim_{n \to +\infty}\frac{2n^3+n-1}{n^2+4n+2}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2}{n^2}\frac{2n+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}}=1*\frac{+\infty+0-0}{1+0+0}=\frac{+\infty}{1}=+\infty

г)\lim_{n \to +\infty}\frac{2n^2-5n+3}{n^3+6n+11}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^3}{n^3}\frac{\frac{2}{n}-\frac{5}{n^2}+\frac{3}{n^3}}{1+\frac{6}{n^2}+\frac{11}{n^3}}=1*\frac{0-0+0}{1+0+0}=\frac{0}{1}=0

д)\lim_{n \to +\infty}(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2n})=\lim_{n \to +\infty}\frac{(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+2n})(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n})}{(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n})}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^2+1-n^2-2n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{1-2n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}-\lim_{n \to +\infty}\frac{2n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}=

=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2n}}-\lim_{n \to +\infty}\frac{n}{n}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}=\frac{1}{+\infty}-1*\frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=0-\frac{2}{2}=-1

е)\lim_{n \to +\infty}(1+\frac{1}{n})^{2n}=\lim_{n \to +\infty}((1+\frac{1}{n})^{n})^2=e^2

3)а)x_n=3+2n

(\forall M>0)(\exists N=N(M))(\forall n\geq) N:|x_n|>M

Положим M>0

|3+2n|>M

Исходя из 3+2n>0

Неравенство примет вид:

3+2n>M

n>\frac{M-3}{2}

Тогда для любых

n>N=[\frac{M-3}{2}]+1

выполняется заданное условие,значит x_n бесконечно большая

б)\lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty