Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен 5 см, один из катетов равен 12 см. найти периметр окружности?

1

Ответы и объяснения

2012-11-29T20:36:05+04:00

первый способ:

Пусть в прямоугольном тр-ке АВС имеем <С =90, АС =12 и r =5
1) Пусть вписанная окружность касается сторон тр-ка АВ, АС, ВС соответственно в точках К, М и Р
2) тогда по свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности имеем
СР = СМ =5, АМ = АК = 12 -5 =7, ВР = ВК =х
3) В тр-ке АВС получаем
ВС = х+5, АС =12, АВ =х+7 и по теореме Пифагора
( х+7)² = 12² + (х+5)²
откуда х= 30
4) поэтому
ВС = 35, АВ =37 и АС =12
5) Р = 35+37+12 = 84см

второй:

 Рисуем треугольник АВС. Угол А = 90 град. АВ = 12 см. Из центра вписанной окружности О опускаем высоты
ОК на катет АВ
ОМ на катет АС
ОР на гипотенузу ВС
Имеем
АК = АМ = 5 см (радиус вписанной окружности)
ВК = ВР = 7см (АВ - АК = 12 - 5)
РС = МС = х
По теореме Пифагора
AB^2 + AC^2 = BC^2
12^2 + (5+x)^2 = (7+x)^2
144 + 25 + 10x + x^2 = 49 + 14x + x^2
4x = 120
x = 30
АС = 5 + х = 35 см
ВС = 7 + х = 37 см
Периметр
Р = 12 + 35 + 37 = 84 см